Площадь прямоугольника

Самыми древними понятиями в развитии мировой геометрии являются понятия площадей многих прямолинейных фигур, в том числе: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, и трапеции. Еще в 7 веке до нашей эры площадь прямоугольника умели вычислять египтяне. Они умножали длину на ширину.

Вавилонская арифметика и алгебра  тоже были достаточно развиты, об этом свидетельствуют найденные при раскопках клинописные таблички. Вавилонская геометрия имела представление о пропорциональности отрезков, которые пересекались параллельными прямыми, а также о теореме Пифагора и даже вычислении объемов и площадей некоторых фигур.  При этом вавилоняне под пространственными фигурами принимали конкретные предметы из быта. Например, при строительстве круглых зданий, они длину окружности приблизительно вычисляли по ее трем диаметрам. Площадь прямоугольника они высчитывали количеством пройденных шагов. Видимо для того времени такие определения значений были вполне приемлемыми.  Такая прикладная геометрия была характерна для многих народов мира и широко использовалась в решении разных спорных бытовых вопросов.

Выдающийся ученый своего времени Архимед, доказывая теоремы о площадях фигур, использовал метод исчерпывания. На самом деле, это не что иное, как косвенное доказательство, которое начинают от противного. Основная идея метода Архимеда состоит в том, что вовнутрь фигуры, площадь которой ищут, нужно вписать правильные фигуры. Используя варианты метода исчерпывания, выдающийся ученый смог доказать многие теоремы.

Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

S = ab

рис. 1а

Итак, мы имеем прямоугольник, у которого две стороны – a и b. Площадь прямоугольника – S. Докажем, что S = ab.

рис.1 (5)


Превратим наш прямоугольник в квадрат. Для этого увеличим его сторону b до длины стороны a

В итоге у нас получилось четыре квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна (a + b)2. В то же время эти квадраты составлены из двух прямоугольников: одного прямоугольника с площадью S и такого же прямоугольника с такой же площадью, а также двух квадратов, у которых площади a2 и b2. Исходя из того, что наш четырехугольник состоит не из одного четырехугольника, а из нескольких, то его площадь будет равна сумме всех площадей данных четырехугольников. Это выходит из свойства площадей:

(a + b)2 = S + S + a2 + b2, или a2 + 2ab + b2 = 2S + a2 + b2.
А это означает, что  S = ab.Значит, наша теорема доказана.

система комментирования CACKLE