Площадь трапеции

 Трапеция – это геометрическая фигура, которая имеет две параллельные противоположные стороны.

Параллельные стороны трапеции называются основами (стороны AB и CD на рисунке). Остальные стороны имеют названия боковых сторон (стороны AD и BC). Выделяют три

рис2

специальные трапеции: равносторонняя трапеция, у которой все боковые стороны равные. Прямоугольная трапеция, у которой все углы прямые и разносторонняя, у которой все стороны разные.

Существует также несколько способов для вычисления площади трапеции. Представим некоторые из них:

  1. Sтр = 2(ВС+АD)/BH, где АD и ВС выступают в роли оснований, а BH – в роли высоты трапеции. Для доказательства представленной выше формулы мы проведем в трапеции диагональ BD, затем выразим площади треугольников CDB и ABD посредством полупроизведений оснований на высоту: SABD =1/2 х АD х BH и SCDB = 1/2 х BC х DP,  где DP – внешняя высота в треугольнике CDB, не забывая о том, что высоты BH и DP равные поочередно сложим эти равенства. В итоге мы получим:

Sтр = SABD + SCDB = 1/2(BH х АD) + 1/2х ВС х BH. Вынесем за скобку 1/2 х BH; Sтр1/2 х BH (АD + ВС) = ((АD+ВС)/2) х  BH.

  1. Вычисление с применением общей формулы площади четырехугольника: по определению площадь четырехугольника равняется половине произведения диагоналей, которое умноженное на синус угла, который находится между ними: S=1/2   АС х ВD х sin О. Для того чтобы доказать, просто необходимо разделить трапецию на 4 треугольника, затем выразить площади каждого из треугольников через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними». В этом случае в роли угла выступает угол О, после сложить те выражения, которые образовались, вынести ½ sin О за скобки, разложить эти скобки на множители, используя метод группировки. Получается такое равенство (АО + СО) х (ВО + DО). Следовательно, получается уравнение определения площади трапеции: Sтр1/2 х(АО + СО) х (ВО + DО)х sin О = 1/2 х АС х ВD sin О.
  2. Вычисление площади можно осуществить при помощи формулы Герона для трапеции:

рис3

     4.  Формула, которую наиболее часто используют для определения площади трапеции, при известной высоте и длин сторон:

рис1

где S – значение площади трапеции, a, b - значение длин основ трапеции; c, d – значение длин боковых сторон трапеции, l – средняя линия (согласно основным свойствам трапеции средняя линия ее параллельна основаниям и равняется половине их сумм.)

система комментирования CACKLE