Таблица производных

Производная относится к главному понятию дифференциального исчисления, а вычисление производной к самой основной операции этого же исчисления.

Данное понятие характеризует скорость изменения функции. Определение производной — это исчисление предела отношения приращения функции к ее аргументу, при  условии стремления приращения аргумента к нулю, при условии, что такой предел существует. Дифференцируемая функция — это функция, которая имеет конечную производную.

К вычислению производных относится нахождение производных простых, тригонометрических, логарифмических функций.

табл. 1

Для вычисления производных от простых функций (табл. 1) применяются такие правила:

• с´ = 0, где с´ — производная от числа;
• x´ = 1, где x´ — производная переменной;
• сx´ = с, где сx´ — производная переменной и множителя.

Следствие: (cx + b)' = c, то есть производная линейной функции равна коэффициенту наклона прямой.

• |x|' = x/|x| при условии, что х ≠ 0, где |x|' — производная переменной по модулю, а  x/|x| — частное переменной к модулю;
• (xc)' = cxc-1, при условии, что xc и cxc-1 определены, а с ≠ 0, где (xc)' — производная переменной в степени;
• (1/х)' = - 1/x2 , где (1/х)' — производная дроби;
• (1/xc)' = - c/xc + 1, где (1/xc)' — производная дроби с переменной в знаменателе;
• (√x)' = 1/(2√x), где (√x)' — дифференциал переменной под квадратным корнем.

табл. 2

Вычисление производных от тригонометрических функций (табл. 2) осуществляется по таким правилам:

• (cos x)' = -sin x
• (sin x)' = cos x
• (ctg x)' = - 1/sin2x = -(1 + ctg2 x)
• (tg x)' = 1/cos2x = 1 + tg2 x
• (arcctg x)' = -1/(1 + x2)
• (arctg x)' = 1/(1 + x2)

  табл. 3

Производные от логарифмических функций (табл. 3) исчисляются по таким правилам:

• (loga x)' = 1/x loga e
• (ax)' = ax ln a, a > 0 a ≠ 1
• (ln x)' = 1/x
• (ex)' = ex

В конце XVI века ученые начали проявлять особый интерес к объяснению движения и определению законов, которому оно подчиняется. Остро стал вопрос определения ускорения и скорости движения. Эти вопросы привели к  нахождению связи между вычислением скорости движения и касательной, которая описывает зависимость расстояния, пройденного телом, от времени. Это стало основанием к появлению дифференциального исчисления – производной, которое было создано Ньютоном и Лейбницем. Ранее итальянский математик Тартальи проявил интерес к вопросу дальности полета снаряда и углу наклона орудия, в связи с этим в его работах также  встречалось понятие производной.