Теорема синусов

Теорема синусов — это теорема, которая устанавливает зависимость между сторонами и противоположными углами.

Теорема:  стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
Теорема синусов 2рис. 1

В треугольнике, который изображен на рисунке (рис 2), за теоремой синусов имеем:


Теорема синусов 1

Эта формула полезна при исчислении остальных двух сторон треугольника, если известна сторона и два близлежащих угла, типичная проблема, которая возникает во время триангуляции. Также если известны две стороны и один из углов, который не образуется этими сторонами, тогда эта формула предоставляет два возможных значения для внутреннего угла. В этом случае, часто только одно значение удовлетворяет условие, что сумма трех углов треугольника равняется 180°; в ином случае мы получим два возможных решения.

Обратное значение числа в теореме синусов (то есть a/sin(A)) равняется диаметру D, который описанному вокруг треугольника круга (единственный круг, который проходит через точки  A, B и C). Таким образом, теорему можно переписать в таком виде:

Теорема синусов 3

Доказательство теоремы синусов:

Пускай дан треугольник со сторонами a, b, и c с противоположными углами  A, B и C. Опустим перпендикуляр длиной h з C на c (смотрите рис.). Видим что:

«Уравнения — самая скучная часть математики. Я пытаюсь смотреть на вещи в терминах геометрии.»
Стивен Хокинг.


Теорема синусов 4

Отсюда:

Теорема синусов 5

А также:

Теорема синусов 6

Повторим эту операцию с углом A и стороной a. В итоге мы получаем:

Теорема синусов 7

Всем известно, что древние путешественники ориентировались по звездам и планетам. Они могли достаточно точно определить местонахождение корабля в океане или каравана в

scient

пустыни по расположению светил на небе. При этом одним из ориентиров была высота, на которую поднимались над горизонтом то или иное небесное светило в конкретной местности в конкретный момент времени. Само собой, что непосредственно измерить эту высоту невозможно. Поэтому ученые стали разрабатывать методы непрямых измерений. Тут существенную роль сыграло решения треугольников, две вершины которого лежали на поверхности земли, а третья была звездой или планетой. Для решения подобных задач древним астрономам необходимо было научиться находить взаимосвязь между элементами треугольника. Таким образом, возникла тригонометрия – наука, которая изучает зависимость между сторонами и углами треугольника. Термин «три го но метрия» (от греческих слов «тригоном» - треугольник и «метрео» - измерять) означает «измерение треугольников»

 

система комментирования CACKLE