Аксиома параллельных прямых

     рис.1 рис.2 Рис.1-2

Например, дано задание провести две параллельные прямые, причем так, чтобы через данную точку М проходила хотя бы одна из прямых. Таким образом, через заданную точку М проведем взаимно перпендикулярные прямые МN и СD. А через точку N проведем вторую прямую АВ, она должна быть перпендикулярной к прямой МN.

Сделаем вывод: прямая АВ перпендикулярна к прямой  МN и прямая СD тоже перпендикулярна в прямой МN, а так как данные прямые параллельны к одной прямой, то, как следствие прямая СD параллельна АВ. Значит, через точку М проходит прямая СD, которая параллельна прямой АВ. Узнаем: можно ли провести еще одну прямую через точку М, чтобы она была параллельна прямой АВ?

Данное утверждение является ответом на наш вопрос: через точку на плоскости, которая не лежит на данной прямой, можно провести всего одну прямую, которая будет параллельна к данной прямой. Такое отвержение в другой формулировке без доказательств еще в давние времена принял ученый Евклид. Известно, что такие утверждения, принятые без доказательства, называют аксиомами.

Вышеописанное утверждение называется аксиомой о параллельных прямых. Данная аксиома Евклида имеет огромное значение для доказательства многих теорем.

Рассмотрим обратную теорему. Если прямая пересекает параллельные прямые, то и углы, лежащие при параллельных прямых накрест, соответственно равны.

 рис.3Рис. 3

Доказательство: допустим, что АС и ВD являются параллельными прямыми, тогда прямая АВ является их секущей прямой. Нам нужно доказать, что ÐСАВ =Ð АВD.

Нам нужно провести так  прямую АС1, чтобы ÐС1АВ=ÐАВD. В соответствии с аксиомой параллельности прямых АС1||ВD, в условии же мы имеем АС||ВD. А это означает, что через данную точку А проходят две прямые, причем они параллельны прямой ВD. Получается противоречие аксиоме параллельности прямых, а это означает, что прямая АС1 проведена неверно.

Правильно будет, если ÐСАВ=ÐАВD. Сделаем вывод: в том случае, когда одной из параллельных прямых перпендикулярна данная прямая, то она будет перпендикулярна и ко второй прямой.

Получается, если (MN)^(CD) и (CD)||(AB), то Ð1=Ð2=90о. А это значит: (MN)^(AB) (Рис. 1).

Докажем теорему: если две прямые являются параллельными к третьей, то они будут параллельны одна ко второй.

рис.4 Рис. 4

Пусть прямая a параллельна прямой с и прямая b тоже параллельна прямой с (рис. 4 а). Нам нужно доказать, что a||b.

Предположим, что прямые a и b не являются параллельными, но они пересекаются в точке М (рис. 4 б). А это значит, что две прямые a и b, которые параллельны к прямой с проходят через одну точку, а это полное противоречие аксиоме параллельности прямых. Значит наши прямые a и b параллельны.

система комментирования CACKLE