Показательные уравнения

Показательным уравнением называется такое уравнение, у которого неизвестное при постоянных основаниях входит только в показатели степени.  Если а является положительным

Napier_John

Джон Непер

(1550 — 1617) 

Шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

 числом, которое не равняется нулю, тогда:

  1. Для всех отрицательных значений b, уравнение умеющее вид ах = b не имеет решений.
  2. Для всех положительных значений числа b уравнение ах = b имеет одно решение, которое выступает в роли логарифма ах = b↔х = logab.
  3. Для правой части уравнения всех положительные значения чисел b можно считать справедливыми: если а > 1, тогда ах > b↔х > logab, и ах < b↔х < logab;                если 0 < а < 1, тогда ах > b↔х < logab и ах < b↔х > logab.
  4. Для всех положительных значений b уравнение ах > b справедливо при любом значении переменной.

 

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение вида ах = b, где a ≠ 1, a > 0, необходимо следовать некоторым простым правилам. Уравнение ах = b не имеет корней, если b ≤ 0; имеет один корень: x = log a b, если b > 0.

Для решения более сложных показательных уравнений необходимо: все степени, которые присутствуют в уравнении необходимо привести к единому значению. Его нужно подвести таким способом, чтобы степень числа была минимальным и целым показателем. Например, вместо 0,01x лучше записать как 10−2x или вместо 4x - 22x. Такое возведение в степень необходимо для дальнейшего деления или умножения уравнений, которые выполняют, учитывая степень.

Во время умножения показатели степеней суммируются, а при делении степени — вычитаются. После того, как вы преодолеете представленные этапы, получится уравнение, которое имеет вид a f (x) = a g(x), где a — некое число.  Это число можно не брать во внимание, так как показательная функция монотонна. Следовательно, уравнение приобретает вид

f (x) = g(x), которое можно легко решить.

Корни также выступают в роли степеней, но с дробным основанием

рис 1 (5)

Рассмотрим на примере. Для того чтобы решить уравнение, прежде всего необходимо помнить, что основания можно убирать только в тех случаях, если они и справа и слева не имеют коэффициентов или других значений: 2х+2х+1 = 23, или 2·* 2х = 24, при этом двойки не убираются. Решение уравнения, что имеет такой вид 4х+2х+1-24=0 находится таким способом. Перепишите уравнение, чтоб оно приобрело такой вид 2+2*2х-24=0. Если представим что 2х=у, то у2+2у-24=0. Следовательно можно сказать что у1=4, у2=-6, то есть 2х=4, 2х=-6. Так как 2х>0, то х=2.

система комментирования CACKLE