Уравнение касательной

Касательная до кривой  в точке — это прямая, которая проходит через эту точку и в определенном месте не имеет с ней других совместных точек.

Например, касательная круга имеет только одну совместную точку с кругом. Касательная может пересекать кривую в далеких точках, как показано на рисунке. Уравнение касательной до кривой y = ƒ(х) в точке М(х₀у₀) имеет такой вид:

у = ƒ(х₀) + ƒ΄(х₀)(х - х₀)

где ƒ΄(х) — производная функции ƒ(х) в точке х₀.

Пускай данная функция ƒ которая в точке _х0 имеет ƒ(х₀) — конечную производную, тогда прямая, которая проходит через данную точку (x₀; f (x₀)) и которая имеет угловой коэффициент ƒ΄(х₀) — называется касательной. Если же не существует производная точке _х0, в таком случае могут присутствовать два варианта:

1. Касательная на графике также не существует. Например, функция y = |x| в точке (0; 0).
2. Данная касательная превращается в вертикальную. Это утверждение будет справедливо для такой функции: y = arcsin x в точке (1; π/2).

Прямая, которая не является вертикальной, изображается в виде такого уравнения y = kx + b, где k — угловой коэффициент. В таком случае касательная не является исключением и для того чтобы сформулировать уравнение для некоторой точки х₀, достаточно знать только значение ее функции, а также производной данной точки.

Для того чтобы найти уравнение касательной, необходимо:

• найти значение функции в точке, которая задана;
• найти производную функции;
• найти значение производной функции в точке, которая задана;
• найти произведение производной функции в точке и разнице аргумента функции и абсциссы заданной точки;
• записать уравнение, левая часть которого содержит зависимую переменную у, а правая — сумму найденного произведения и значение функции в заданной точке.
  «Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности».

  Альберт Эйнштейн.

Промежутки, на которых функция только спадает или только возрастает, называются промежутками монотонности функции. В  промежутках устойчивости показателей производной функции, функция — монотонная. Если в каждой точке некого промежутка производная функции приобретает положительное значение, тогда функция на этом промежутке возрастает. Если в каждой точке некого промежутка производная функции приобретает отрицательное значение, тогда функция на этом промежутке спадает. Если в каждой точке некого промежутка производная функции приобретает неотрицательных значений, тогда функция на этом промежутке ниспадающая, и наоборот.